例2-1函数的值域为，且不等式的解集为，

则 ．

本题要解决的问题是求c的值，从宏观策略上讲，有两个角度：一是由已知条件建立关于c的方程，通过解方程求出c；二是，若参数c具有几何意义，可考虑通过数形结合获得问题的答案．

【分析1】 由于函数是关于的二次函数，值域为，说明的最小值等于零，即①；又知道，不等式的解集为，即，由于，所以，关于的方程的两根为m和，由韦达定理，，消去参数，得②，将①②联立，解得．这是最基本的解法，也可以说是通法．

【分析2】 如果对函数的相关概念理解得再本质一些，这道题似乎能“看”出答案，分析如下：

由于二次函数的值域为，而函数值域的几何含义是函数图像在轴上的“投影”，不等式的解集为，由于此解集的区间端点虽然都含有参数，但区间的长度却为定值6，故不等式的几何含义是直线被抛物线截得的线段长为6，又由于二次函数与“全等”，问题等价于直线被抛物线截得的线段长为6时，的值，显然，如图所示．

这个解法之所以能“看出”答案，得益于对三个概念的本质理解，一个是值域，从几何角度把它理解为函数图像在y轴上的投影，换句话讲，函数左右平移对其值域没有影响，这就是变化中的不变性，这为为问题的转化提供了更多的维度；第二个是解集为，由于解集含有参数，从表面上看区间是变化的，但区间长度是6却是不变的，这就是变化中的不变性；第三是对二次函数的理解，我们知道，函数的图像是通过平移得到的，也就是平移前后的图像的形状与大小是一样的，所以是 “全等”的，实际上，对称与旋转变换也具有这种性质，当遇到曲线上的距离或面积等问题时，就可以将问题转化为简单的问题．这样看来，这个解法的获得不是说谁有多聪明，而是对概念的理解更深一些罢了！反思以下平时的做题，如果一味地图的多少，而不是把解题的重心放在概念的理解，那么，解题能力只能原地踏步了．

例2-2设当时，函数取得最大值，则 ．

这个题目要解决的问题很清楚，就是找到函数取最大值时x的值就可以了，所以，从具体操作层面，对已知函数的不同表征会产生相应的解法．

解法1 把所给函数看作是形如的三角函数．

其中由，确定．

显然，当，即时，函数取得最大值．

此时，．

解法2 由于已知当时函数取得最大值，所以，

又，解得，经检验，适合题意．

解法3 把看作一般意义下的一元函数．

这时，求函数最值的通法是利用导数，求出极值，由于定义域为，所以函数最值一定在极值处取得．

令，得，由于，x为Ⅱ、Ⅳ象限角，

当x为Ⅱ象限角时，取得最大值；当x为Ⅳ象限角时，取得最小值．

由于，x为Ⅱ象限角，所以，即．

解法4把函数看作两个向量和的数量积，由于点M是单位圆上的动点，当与同向时，取得最大值，此时，．

解法5利用柯西不等式（实际上可以看作是平面向量数量积的一个基本性质），当且仅当取等号时与同向或反向，也可以说是共线．）

，

当且仅当取等号，结合，得．

在这个例子中，要解决的问题很明确，就是求函数的最值，但却有至少五种不同的解法．实际上，这些不同的解法均来自对函数的不同表征，也就是对同一个数学对象的不同认识，如果只认识到它是一个三角函数，那么，思维就限制了．因此，对一个数学概念尽可能多的表征是衡量对数学概念与知识理解的重要指标．

因此，在数学学习过程中，我们总是通过做题加深对数学概念与知识的理解，同时，对概念与知识的理解得越深，就越容易获得更快捷的解法，从这个意义上说，数学解题应该把对概念与知识的理解作为首要目标．

对知识与概念是否有本质理解，在解题过程中有两方面的基本表现：第一，能否对题目中的每一个概念、每一个知识点，用数学的符号语言、图形语言、文字语言加以描述；

第二，能否建立与该知识点相关联的、包含尽可能多知识点的知识系统．建立的系统越宏观、越广泛，说明对知识的理解越深入．