所谓高维与低维的类比，例如一元二次方程与一元n次方程的类比，平面与空间的类比等等．

例1 试推导实系数一元n次方程根与系数的关系．

【分析】如果直接进行推导，几乎无从下手，但当我们看到“根与系数关系”这个词，我们立刻想到最熟悉的一元二次方程根与系数关系，，它们之间的关系是如何得到的呢？这里我们要用到代数基本定理：实数系数一元n次方程在复数范围内有n个根，若有虚根，则虚根是成对出现的．有了这个定理，我们就可以用待定系数法推导根与系数关系了．

设实系数一元二次方程的两根分别为，则

，

对比系数得

同理，对于实系数一元三次方程，若三个根分别为，则

，

对比系数得

类比上述推导方法，我们就能获得实系数一元n次方程根与系数关系：

，

例2 设，，为三个互不相等的实数，且，求证：．

【分析】这是一道约束条件下的恒等式证明问题，思路很多，如果按照通法，可以令

，从理论上讲，可以将用加以表示，代入要证等式的左边，化简即可，但要实际操作起来并不容易．我们如果仔细观察所证命题，它是一个关于的轮换对称式，我们如果退一步，类比只有的命题也应该是成立的，即

若，为互不相等的实数，且，那么．

两个字母的情况是比较容易证明的．

由于，

即，

进一步化简，得，进而，．

我们从上述推导中似乎看到了方向，这就是类比的力量．

①由已知，，即，化简得；

②同理，由，可得；

③由，得；

三式相乘，由于，，为三个互不相等的实数，化简即得．

这是一道典型的通过“降维”，运用类比思维方法寻找突破口的例子．

练习 设，，，均为不等于1的正数，，，，均为非零实数，如果

，且，求的值．

【简解】这是一道含有8个字母的一个命题，直接证明难度较大．同样，我们退回到含有4个字母的情形，则命题为

设，均为不等于1的正数，，均为非零实数，如果，且，求的值．

设，则，，由于，所以，即．

当然，也可以这样里由已知条件．

类比上述解法，可得本题的如下解法：

设，

．