函数是两个变量之间一种相互依赖关系，研究函数就是研究自变量变化时因变量的变化规律，所以，理解一个函数，首先清楚自变量是谁，自变量是如何变化的，相应的因变量会有哪些变化，例如：若函数是奇函数，则A.；B.．解题的关键是对“函数是奇函数”的理解，首先要弄清楚函数自变量是谁？是“”还是“”；其次，奇函数的本质是什么，能否用文字语言、图形语言、符号语言等三种语言加以表述．明确了这两个问题，这个问题就可以迎刃而解了，即：由于自变量是，奇函数的本质是当自变量取互为相反的两个数时，因变量也互为相反数，所以，当中的自变量 或时，对应的函数值与互为相反数，即，也就是，所以选A．若将问题改为：若函数是奇函数，则A. ；B.，就很容易获得问题的答案了．

当然，在解决此问题的基础上，还可以由奇函数的代数特征，进而获得奇函数的几何特征：与原点等距离的两个自变量，对应的函数值互为相反数，即图像关于原点成中心对称，由此拓展，如果函数的图像关于点对称，用自然语言描述就是“与点等距离的两个自变量对应的点到轴的距离相等”，用符号语言表示出来就是，进一步，若函数的图像关于点成中心对称，则满足．对偶函数的理解同样是这样的，这里不再赘述．

有了这样对函数及其性质的认识，在解题中，我们对诸如的认识就会直达本质．

例2-4 已知函数满足，若函数与图像的交点为，则=

这个题所求的是两个函数与图像的所有交点的横坐标与对应的纵坐标的和，显然，我们不可能求出所有交点，我们先看看这些交点有哪些性质，“函数满足”的意思是说“函数关于点成中心对称”，而的图像也关于点成中心对称，这样，两个函数的交点就关于原点对称，由于函数在原点没有定义，所以，这些交点是成对出现的，所以为偶数，由于每对自变量的和为0，因此，又每对因变量的和为2，共对，所以，．

此问题的解决，没有依靠所谓什么技巧，而是基于对函数概念以及奇函数概念的理解，函数主要研究自变量的变化对函数值的变化的影响，而对于条件“” 如果用文字语言叙述就是“两个互为相反数的自变量对应的函数值的和为定值2”， 用图形语言表示就是“与原点等距离的两个自变量对应的点的中点为1”，即函数关于点对称．

因此，较好地解决数学问题的前提是对数学概念的深刻理解．

我们再看一道基于数学理解找到解题思路的例子．

例2-5（2017全国Ⅲ卷理科11）

已知函数有唯一零点，则

A． B． C． D．1

解决这个问题的策略非常清楚，就是由已知条件获得关于a的方程即可．解决此问题的关键在于对“函数有唯一零点”的理解，要么单调，要么只有一个极值点为0，不管哪一个，从函数类型看似乎都要用到求导，这样，就有小题大做之嫌了．如果从对函数理解的角度，这个函数是由一个二次函数和一个指数型函数的和构成，二次函数的几何特征是“开口向上，关于直线对称”，而第二部分指数型函数中其指数是互为相反数的，我们知道，一定是偶函数，图像关于对称，将上式中的换成，则图像关于对称，也就是说，整个函数一定关于直线对称，既然只有一个零点，那么零点只能在是，即，选A．

当然，此题涉及更本质的认识是对奇偶性的进步理解，任意定义域关于原点对称的函数都可以用奇函数与偶函数加以表示．这是因为，由于定义域是关于原点对称的，所以一定是偶函数，或一定是奇函数，所以，才有上述重要结论：，本题第二部分的函数对称性就是利用上述理解获得的．