通过对波利亚如何解题的分析，我们发现，成功解决数学问题的关键环节在于“拟定计划”环节上，这一环节充分体现了数学思维的灵活性，对一般的解题者而言，有时很难做到，为此，我们从“解题目，为什么”的角度，把解题的重心放在“审题”和通过一般思维方法寻找解题思路两个关键环节上，把重点放在对知识的理解和思维方法两个方面，从而最大限度克服通过题海战术提升解题能力的弊端，使数学解题回归到促进概念理解和发展思维能力的本源上．

例1-4 已知关于x的三个方程，，

至少有一个方程有实数根，求实数的取值范围．

（一）审题

1.审题审什么

弄清楚题目的已知条件是什么，共几个，其数学含义是什么？

弄清楚题目的结论是什么，共几个，其数学含义是什么？

本题所给的三个方程都是关于未知数x的二次方程，且一次项和常数项含有参数m，三个方程“至少有一个方程有实数根”等价于“恰有一个方程有实根”，“恰有两个方程有实根”，“恰有三个方程有实根”，在此条件下，求参数m的范围．

2.审题怎么审

读题---弄清楚字面意思；

理解----弄清数学含义；

表征----用图形语言与符号语言加以表达．

解决此题的关键是对“三个方程中至少有一个方程有实数根”数学含义的理解，我们可以将其直接转化、也可以间接去考虑，但我们往往没有从“至少有一个”的数学本源去寻找思路，从而与简洁的做法擦肩而过．

（二）寻找已知与所求之间的联系

由于所求的m是已知二次方程的系数，所以，利用三个关于的二次方程有实根就可以获得m的不等关系，从而通过解不等式组求出的范围．

（三）运算求解

解法1 直接法

“恰有一个方程有实根”等价于，或，或；

“恰有两个方程有实根”等价于，或，或；

“三个方程都有实根”等价于．

然后，求并集即可获得m的范围．

解法2 间接法

“三个方程至少有一个方程有实数根”的否定等价于“三个方程都没有实根”，即，得到m的范围后，在实数范围内求补集即可．

解法3 直接法（基于对“至少有一个”的本质理解）

“三个方程至少有一个方程有实数根”等价于，或，或，即三种情况求并集即可．

解法4 分离参数

由题意，，，，通过变形，利用基本不等式分别求出三个关于x的函数的值域，求并集即可．

（四）检验作答

特殊性检验、漏点检验、充要性检验

对于解法4，在，时要进行检验．

例1-5 已知点A是抛物线上一定点，B、C是其上的动点，且满足AB⊥BC．当B点运动时，求点C横坐标的取值范围．

第一步：审题

“已知点A（-1,0）是抛物线y=x2-1上一定点”翻译为图形语言

“B、C是其上的动点”翻译为：设

……①

……②

“AB⊥BC”翻译为 ……③

所求：求的范围．

第二步：探寻解题思路

从所求问题出发，利用模式识别、化归转化、类比迁移等建立所求与已知之间的关系．

思路一

由于所求问题为“求某一参数的范围”的一类问题，最常用的是函数思想，“求的范围”说明在变化，那么，它的变化一定至少与另一个量的变化有关，由题意可知，的变化是由的变化引起的，故，只需建立，进而转化为求函数的值域问题即可，这也是我们在求参数范围问题时为什么首先分离参数的原因．

思路二

在建立，关系的过程中，如果不能分离两个变量，也就是如果得到含有以及不等式组构成的混合组，我们要通过方程的思想，根据一个量根的情况确定另一个量的范围．

显然，思路一是我们首选的方法．

从上述思路探寻过程可以看出，思路探寻过程最重要的是掌握“在明确要解决问题的基础上，基于问题，通过模式识别、化归转化、层次解决、特殊探路、极端原理等思维方法”，不断地分析与综合，最终找到解决问题的路径，这是提升数学解题能力的又一个关键环节．

第三步，推理与运算

确定运算方向（明算理）：

分析运算条件：由已知，①②③式中共有4个变量，三个独立方程，故可消去

实施恒等变形（每一步变形需紧紧围绕预算目标展开）：

将①②代入③可得，

，

，

当时，；当时，．

第四步，对结果的检验与完善

由题意，，又当时，；

另一方面，时，，或

综上，点C横坐标的取值范围是．

第五步，解题后的反思

从本题思路的发现过程可以看出，总结一类问题的常用方法是非常必要的．我们经常说要形成知识系统，而知识系统来源于从不同层面总结的一类问题的通性通法．同时，运动变化的思想、函数的思想在思路的发现过程中起到了指引的作用，所以说，数学思想方法是灵魂．

在平时的数学解题过程中，如果按照这样的步骤解题，才算得上“精做”，才能有大的收获！

在接下来的章节，我们将从“知识的本质理解”、“思维方法”两个角度对高中数学中的难点内容“函数与导数”和“解析几何”两大难点问题进行刨析，让我们看到，只要基于以上两点，我们也可以顺利解决这些“压轴题”，甚至，在不增加只是的情况下，还能解决自主招生和数学竞赛中的许多问题，让我们一起体验吧！