例3 解方程．

【分析】这是一道无理方程求解的题目，当然可以用平方的办法．但是，此方程具有的特殊结构不由得联想起椭圆定义的结构“”，因为由这个结构我们推导出了椭圆的标准方程，如果能借鉴这一结果，这样就省去了繁琐的运算过程了．

我们将方程改写为椭圆定义的形式：

令，则，

设，，，方程可化为，

令其中，则．

变式1 解不等式．

【简解】．

变式2 解方程．

【简解】，，所以．

练习1 解方程．

【简解】令，，根据几何意义，数轴上到原点的距离与它到4的距离差的绝对值是2，则，或，所以，或．

练习2 求函数的最大值．

【简解1】这是一元函数求最值的问题，当然可以用求导的方法了，但实施起来较为复杂，但考虑到二次根式下面是二次三项式，自然想到了配方，可得

，它的几何意义是点与点和之间的距离和的最大值，数形结合，当P，A，B三点共线时，取得最大值．

【简解2】在数学中，具有“”结构的除了两点间距离公式，还有复数的模．

，，，

，当且仅当与共线且反向时取等号，解得．

例4 已知，求证：

【分析】 这道题是较为简单的证明题，方法较多，例如将，展开，整理即可．这里给出一种类比已知条件结构特点证明的一种思路．

，结构是“”，它是典型的一元二次方程判别式的结构，这时，我们可以用构造二次方程的方法加以证明．我们将，，分别作为关于的方程的系数．

若，则，命题成立；

若，则方程为二次方程，由于，且是方程的一个根，

由根与系数关系，得，结论得证．

例4变式：（1999全国初中数学联赛）

已知，且，则

实际上，判别式的本质一个二次方程经配方后

等式成立的充要条件，即，所以，判别式并不只是用于判别二次方程根的情况，例如

（1956北京数学竞赛题）求所有的实根．

我们可将方程看作关于x的二次式，要使方程（等式）成立，当且仅当

，即，所以．

当时，，即．

练习1 求最值．

【简解】这个结构是两点斜率公式的结构，所以问题转化为点与点连线斜率的最大值与最小值，也即点与单位圆上一点连线斜率的最大最小值．最大值，最小值．

练习2 若方程表示的曲线是椭圆，求的范围．

【简解1】利用二次曲线的相关结论，若已知二元二次方程

，设，则若表示双曲线；表示双曲线；，表示椭圆．

【简解2】 这个式子稍加变形，与学过的点到直线的距离公式结构非常相似，给方程开平方，得

，进一步化为

，

，

它表示直角坐标平面上动点到定点的距离与它到直线的距离之比为常数，根据圆锥曲线的定义，，即．

启示：若代数结构中出现的形式，可类比点到直线的距离公式．

例6 设．求证：

．

【分析】这是一道普通的不等式证明问题，可以有多种解法，这里主要从分析不等式的结构出发，通过类比联想的思维方法加以解决．

对于二次根号下面是二次三项式的结构我们可以配方，看作是两点间的距离公式，但这个结构中含有两个字母，而且每一项都是二次，联想学过的公式，像余弦定理的形式：在三角形ABC中，，即，我们取，这样，的几何意义就是“以a，b为邻边，夹角为60°的三角形的第三边”，同理，“以a，c为邻边，夹角为120°的三角形的第三边”．

变式1

【简解】a，b，c两两夹角均为60°，不可能构造平面图形，这时，我们就要构造立体图形了，即构造三棱锥了．

变式2 ．

【简解】由于a，b均为正数，，，所以左边，而．

当然，也可以用构造平面几何图形的方法直观证明．

练习1设为正数，且，，，求的值．

【简解】构造如下平面图形，利用整体面积等于部分面积之和求值．

，

练习2 已知，求证：．

【简解1】 构造函数，

由于，，

不等式成立．

【简解2】 构造边长为1的正三角形，利用面积关系．

例6 设，则的最小值是 ．

【分析】所求问题是一道典型的约束条件按下的二元最值问题，其目标函数的几何意义是两点 与之间的距离，而始终在上，点始终在双曲线上，数形结合，最小距离为．

练习1 若实数a，b，c，d满足，

则的最小值为

【简解】由已知，，由于点在曲线上，

点在直线上，问题转化为曲线上任意一点与直线上任意一点之间距离的最小值．设与直线平行，且与曲线相切的直线为，切点为，则，，解得，进而求得，则切线与直线之间的距离即为最小值．

例7 数列满足，证明：数列是单调数列．

【分析】用归纳的方法，容易证明（），．

本题利用观察，类比，联想的思维方法．由于结构类似于三角半角公式，若令

，，，，则，，

由于，，所以，数列是单调增数列．

例8 设，证明：

【分析1】 基本不等式的变形，；

【分析2】构造直角三角形，如图，则不等式反映的几何意义是两点之间折线段大于等于直线段．

【分析3】 可以看作复数的模，利用复数模的不等式．

，，，

例9 求函数的最大值．

【分析1】 可以用求导的方法，这里利用结构特征利用构造或换元的方法加以解决．

的结构是熟知的三角公式，且函数是偶函数，先考虑一般区间，即的情形，令，则，最大值为

【分析2】

，看作向量的数量积．

因为点在单位圆上，由数量积的几何意义可得．

例10 （2013北约第3题）

若，,，则的值可能为

A. 10 B. 12 C. -14 D. -16

【分析】这是一道给式子求值的问题，从理论上讲，我们可以求出x，y的值带入即可，但实际上运算较为复杂，而且，问题是求一个式子的值，并不一定要求出x，y，因而可从总体上考虑．

由于条件①和条件②的结构完全相同．

①-②，得；①+②，得，进而得到．

怎么样将，整体带入呢？可以用立方和的公式，但不是最好的方法，我们发现已知条件从左端到右端，不但能实现x与y的转化，而且也能够将二次降为一次．所以，先对目标式降次，再代入即可求得．

=．

练习 （2013全国数学联赛一试）

在中，已知，，则的值为

【简解】观察到两个等式右端的结构是和角余弦公式的结构，因此,

，即，．

例11 已知函数在定义域内恒满足，且，则

【分析1】这是一道有关抽象函数的填空题，通法是取一些特殊值，然后归纳出一般的规律，进而求出结果．

令，得，或．

若，又，令，，推出矛盾；

所以，由，，，，，

，得出6是函数的一个周期为，

所以．

【分析2】一般抽象函数问题，都有具体函数作为背景，我们可以根据基本初等函数的运算性质，构造一个适合条件的具体函数即可．

类比联想，在学过的几个基本初等函数中，满足

的函数可能是余弦函数，下面我们尝试利用构建一个满足条件的函数．

由于要满足，将函数修改为．

经检验满足，所以

．

练习1（2014北约）

已知，，，则

（A） 4027 （B）4028 （C）4029 （D）4030

【简解1】赋值法．

①，得；

②，得

③，得

，猜想

【简解2】由于，，

由，可判断函数为线性函数．

所以，设，由，，解得．

【简解3】也可以通过Jensen不等式取等的情况猜想

，所以，函数为线性函数.

练习2（2013清华大学暑期数学体验营）

对每一个实数函数满足：，若，试求满足的所有整数．

【简解】由于要求的是整数解，而且很难找到一个基本初等函数满足运算性质，所以可以用赋值法加以解决．

令，得，

令，得，

令，得，

令，得，猜想时不存在．

由于问题只针对整数，所以

令，，得，

利用递推关系，可得．

令，得，，

对于整数，，

，解得，或．

例12 证明：从任意三个不等的正数中，总能选出两个数，使得．

【分析】这是一个证明题，要证明的结论是一个分式在0到1之间，但这个分式的结构比较熟悉，是差角的正切公式，由于均为正数，我们不妨设

，其中，

由于要存3个数中选出两个，我们将区间划分，

一定有两个数，要么属于，要么属于，

不妨设，且，则．

所以

若，且，同理可得上述结论．

例13（2011北约）

求函数的最小值．

【分析】这样一个函数与高中学过的简单的绝对值函数很相似，我们不妨回顾一下对于简单函数我们是如何求最小值的．

画出函数的图像，由函数的单调性，时取得最小值；

由的图像及单调性，时最小值；

由的图像及单调性，时最小值；

若（），

当为奇数时，时，有最小值；

当为偶数时，时，有最小值；

由于所求函数一次项的系数分别是1，2，……，2011，它的图像是折线段，一定有最低点，由于折线的端点分别为，

当时，

①

当时，

，

，

，

②，

将①，②联立可得，．