数学中存在着大量与自然数有关的命题，这些命题如果直接用综合法证明或求解难度是比较大的，但一般的规律往往隐藏在个别的、特殊的结论之中，因此，先从个别的，简单的，具体的情况入手，去探寻一般的规律，寻找一般的解法是数学解题中重要的思想方法和思维方法．

例1 （2011复旦大学），n为正整数，则P(n)是

A. 最高次项系数为1 B. 常数项为-3

C. 一个4次多项式 D. 4次项系数为

【分析】这是一道选择题，如果能知道的结论，问题迎刃而解，但如何才能知道它们的和呢？当然可以用进行推导，实际上，只需要利用已有的结果就能发现自然数n次幂的和的规律性．

，

，

，

猜：是一个最高次项系数是5，没有常数项，4次幂项的系数为的多项式，这或许就是出题人的命题意图，希望对已有结果的归纳，获得规律性的结论，这是数学素养的具体体现．

例2 求所有满足下式的正整数m和n：．

【分析】本题从本质上讲是一道求不定方程整数解的问题，很难有直接求解的方法．既然是求整数解，我们不妨从简单的情形入手，看能否找到突破口或规律性的东西．

时，左边=，所以，是满足条件的一组解；

时，；

时，，是满足条件的一组解；

时，；

时，，

时，末位至少有一个零，所以，左边的和是一个个位数为3的数，不可能是某个整数的平方，所以，满足等式的n不存在．

综上，满足题意的解只有两组和．

练习1（2015北大博雅计划笔试题）

，则满足末尾数是零的的个数是

【简解】时，，适合题意；

时，的个位数分别为1，4，9，6，适合题意；

时，的个位数分别为1，8，7，4适合题意；

时，的个位数分别为1，6，1，6适合题意；

时，的个位数分别为1，2，3，4，与时个位数相同，适合题意；

显然，呈周期性变化，周期为4，从而2015/4=503余3， 所以共有个．

练习2（2016北大）除以100所的余数为

A.3 B.13 C.27 D.以上都不对

【简解】，它们的后两位数分别是20，20，40，20，80，而后两位至少含有两个零，所以除以100所余的数为13.

练习3 设k为正整数，试求的整数解(x,y)的个数．

【简解】为了便于找规律，由于求正整数解，等价于，不妨从开始，探索方法．

时，，共组解；

时，，共组解；

时，，共组解；

……；

时，，共组解；

时，，共组解；

因此，整数解共有，

，

．

例3 （2012清华大学保送生试题）求方程的所有正整数解．

【分析1】这是一道求不定方程整数解的问题，既然是与正整数有关，我们再无他法的情况下，完全可以逐个去试试，因为，从宏观上看，随着分母越来越大，他们的和不可能超过1，因此解的个数一定是很有限的．为了有序思考，我们不妨设，显然， 不适合题意；时，，若，则；若，则；时，，若，则，因此所有正整数解的个数是6，3，2；4，4，2；3，3，3，及其组合，共为10组解．

【分析2】这是关于的轮换对称式方程，

不妨设，由于，得．

当时，，即，，所以；

当时，，即，，，所以，，以下同分析1.

有两点收获：

第一，对轮换对称式，用不妨假设一个次序，可优化思维过程；

第二，方程问题转化为函数问题进行思考．就像是解析几何中，把曲线的方程，看作函数研究曲线的几何性质如范围、零点等．

练习1（2015北大博雅计划笔试题）

，，则满足的的个数为

【简解】，即，同理

由，得（）

因为，所以

是，的组合，但不超过2015，

当时，8个；

当其中有一个是2时，5个；

当其中至少有两个是2时，超过2015；

所以满足条件的的个数共13个．

练习2（2012复旦大学）

设正整数n可以等于4个不同的正整数的倒数之和，则这样的n的个数是

【简解】设，且，

①若，则，，，，不存在这样的正整数n；

②若，则，，，，所以，且；

③若，则，，，，所以

且

综上，，或．

练习3（2013华约第6题）

设是三个两两不等且都大于1的正整数，若整除，

求所有可能的值．

【简解】由于，

整除，所以，

则须，不妨设，则

所以，即，或．

若，由，可得，所以，，不合题意；

若时，，可得， ，，所以，，，所以．

所以满足题意的有2,3,5的组合，共6组解．

例4（2012北约）

在1，2，…，2012中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，问最多能取多少个数？

【分析】要想一下子找到总体的解题思路似乎很难，且无从下手，但我们可以回归最朴素的想法：

第一步，将2012个数全取出来，显然会立即推出矛盾，因为存在两个连续的数，其差为1，它整除任何数；

第二步，由第一步可知，取出的数组中不能含有两个连续整数，为此，将所给数组如下分组：

（1，2），（3，4），…，（2011，2012）共1006组，从每组中取一个数，很快推出矛盾；

第三步，将1，2，…，2012分成（1，2，3），（4，5，6，）…，（2008,2009,2010）,（2011,2012）共671组，从每组中取出一个数，例如1，4，7，…，2011这671个数，

设a，b为这671个数中任两数，，，且，

则，

而，所以不可能整除．

那么，有没有可能取出的数比671多呢？

如果所取数，则这n个数中必然至少有两个数属于同一组，不妨设为a，b，且，则，或．

当时，此时整除，不合题意．

当时，说明a和b同为奇数或同为偶数，所以为偶数，从而也能整除，也不合要求．所以．

从而可知，最多能取671个数，满足要求．

用这样的方法很自然，思维起点也较低，不需要学生指导数论中的相关定理、抽屉原理等，这显示出归纳思维的强大力量．

练习1（2013北约）

最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数．

【简解】我们可以通过归纳思维，从3个数开始列举：

①1,3,7三个数满足条件；

②1,5,7,11四个数满足条件；

当再找5个数的情形的时候，就很难了．于是，我们猜测，最多只能找到4个数了．

若有5个正整数满足题意，因为要满足任意三个数的和为素数，所以将它们按照被3除后的余数0,1,2分为三类，那么，至少一类中含有两个以上的正整数，不管哪一种情况，都不满足任意三个之和为素数．故最多四个．

练习2（2009清华大学）写出三个数都是质数，且公差为8的等差数列，并证明之．

【简解】设这三个质数分别是，若，不合题意；若，则3，11，19满足题意；若，不是质数；，不是质数；省略号，举不出反例，我们产生猜想：不可能存在其他的情形，满足题意．下面给出证明：

①若，则是合数

②若，则是合数

③若，又a为质数，所以，，则满足条件的质数是3,11,19．

（背景：存在任意长的素数等差数列，陶哲轩，澳大利亚籍华人，因此获得了数学界的诺贝尔奖“菲尔兹”奖）

例5（2012北大自主招生第9题）

求证：对于任意的正整数，必可表示成的形式，其中．

【分析1】这是一道与自然数有关的证明问题，对大多数人而言，看到此题的第一反应是运用数学归纳法．为此，先从开始尝试：

时，，令，则

命题成立．

时，，令，则

，命题成立．

时，，令，则

，命题成立．

… … … …

这时，便自然产生了如下归纳：第一，展开后，一定能整理成，

的形式（这一点可不通过归纳得到，直接由二项式定理得到）；第二，将等价变形为，为偶数时，，此时，只需令()，即可写成的形式；为奇数时，，此时，只需令()，即可写成的形式．

当然，为了避免分类，以上结论可以简化为：

对任意自然数，展开后，一定能整理成，的形式，且．

以下用数学归纳法加以证明：

（1）时，，命题成立；

（2）假设时命题成立，即

，且．

时，

，

因为，，所以，．

又，

由假设，所以，．

所以当时，命题成立；

综合（1）、（2）可知，对任意自然数，展开后，一定能整理成，的形式，且．

【分析2】对于任意自然数，由二项式定理可知，

当为偶数时，

为了方便，我们令，，则

，．此时，只需证明即可．

由于，由已知，，而

=，

所以．

令，则．

所以，为偶数时，必可表示成的形式，其中．

当为奇数时，思路与为偶数时相近，以下略．

练习1（2012华约）

证明：方程，在n为偶数时没有实数根，n为奇数时有且仅有一个实数根．

【简解】此问题是一个讨论方程根的个数问题，由于不是二次方程，我们需要用函数思想，通过研究函数的性质，判断方程跟的情况．在没有整体解决方案的情况下，由于方程与自然数n有关，我们不妨从最简单的情形入手，看看有没有规律性的东西．

设，

时，，方程得一个实数根，命题成立；

时，，方程，无实数根；

时，，，在上是增函数．所以有且仅有一个实数根．

时，，=0，则有唯一使且为单调增函数．所以．

这时，我们已经看到了规律性的结论了，下面用数学归纳法加以证明：

（1）当时命题正确；

（2）假设当时命题正确，即k为奇数时方程有且仅有一个实数根；在k为偶数时方程没有实数根，且恒成立．

若k为偶数，，在上是增函数，且

，当．

，

所以函数有一个零点，即方程有一个实数根；

若k为奇数，，记的根为，

，

所以无实数根．

【简解2】 n为偶数时，，

当时，；

当时，由,；

n为奇数时，，在上是增函数，

当，，

只有一个零点，命题得证．

例6 （2012全国数学联赛一试第10题）

已知数列的各项均为非零实数，且对任意的正整数n，都有

（1）当n=3时，求所有满足条件的三项组成的数列

（2）是否存在满足条件的无穷数列，使得？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．

【分析】此问题的第一问是要写出n=3时满足条件的三项组成的数列，如果我们直接奔着这个目标，似乎很难得到．既然这个命题是与自然数有关，我们不妨从简单的情形入手进行归纳，看看是否存在一些规律性的东西．

时，，所以，；

时，，解得，或；

时，，

若，则；若时，，或．

综上，满足条件的数列是，或，或．

猜想的一个通项公式是：．

下面用数学归纳法证明：

（1）时，命题成立；

（2）假设，

由于

时

解得，或，

按照此结论，若，则必有，或；

若，，同理可得或．

对所有自然数n，猜想正确．

例7 （2011高中数学联赛一试第7题）

已知C，则数列中整数项的个数为 ．

【分析】问题等价于求展开式第2项到第96项的共95项中，是整数的项有几项？

由于

（1）当时，需和均为整数即可，此时，.

（2）当时，，，问题转化为的结果中，如果表示为质数积的形式，2的指数是否不小于5.

由于，有一半是因数是偶数，即个；

从100项偶数项中每项抽出一个2之后，剩余，再从偶数项的每一项抽取一个2，有，以此类推，可得到如下结论：

中含有因子2的个数为，

中含有因子2的个数为，

中含有因子2的个数为，

所以中共含有因子2的个数为197-82-110=5个，所以为整数．

（3）当时，，

，同理可得，中含有因子2的个数为88，中含有因子2的个数为105，所以中共含有因子2的个数为197-88-105=4个.

所以不是整数．

由（1），（2），（3）可知，数列中整数项的个数为14+1=15个．

当然，在此问题的解决过程中，我们获得了数论中一个重要结论：

正整数的素因子分解式中，素数作为素因子出现的个数是

练习 2013！中末尾数中含有连续0的个数是

【简解】在的素因子分解式中，只有素因子2与5的乘积会处出现0，显然，素因子2的个数要比5多，所以，末位零的个数取决于5的个数，由上面的结论，5的个数为