在辩证法中，主与次指的是主要矛盾和次要矛盾，认识事物一般应抓主要矛盾，后抓次要矛盾，但主要矛盾与次要矛盾在一定条件下可以相互转化．利用这一思想，在解决数学问题的过程中，特别是含有多个变量、多个参数的问题中，如果从主变量入手较为困难，可考虑将次变量或其他参数作为主变量去寻找突破口．

例1 （2011浙江数学竞赛第10题）

对任意，已知恒成立，求的取值范围．

【分析】这是一道熟悉的恒成立问题，但发现本题的叙述与以往的不同，并不是对任意的x恒成立求a的范围，而是对任意的a求x的范围．

如果直接入手，可以先找使不等式成立的必要条件，再证明充分性．

由于对任意，不等式恒成立，所以

时也成立，即恒成立，显然，所以为必要条件；

同理，时也成立，即恒成立，显然或，；

时也成立，即恒成立，显然或，；

要使对任意，不等式恒成立，取交集，得或．

下面证明充分性：若或，对任意的，恒成立

由于函数对称轴为，开口向上，所以

在递增，，不等式成立；

在递减，，不等式成立；

所以，x的范围为或．

如果换一个角度，我们把a看作主变量，x看作参数，这道题就是我们熟悉的恒成立问题了，为此，我们将不等式改写为

，显然，时不成立；

时，是一次函数，要使一次函数在上恒大于零，当且仅当

，解得或．

例2 已知，且，

求证：对任意的，恒有不等式成立．

【分析】先将所证不等式做等价变形，令，则且，转化为关于的四次不等式恒成立，直接证明四次不等式恒成立比较困难，进而转换角度，将不等式看作关于的二次不等式

，

问题转化为

证明二次不等式在上恒成立，

由于开口向上，

，

，

所以不等式在上恒成立．

练习1 求方程的正整数解．

【简解】这是一道二元不定方程求整数解的问题，由于方程中x与y处于同等地位，为了利用它们之间的关系求解，可以把方程看作关于x为变量的函数，

，其中．

由于y为正整数，所以，即，

，解得，

但，所以，；或．经检验适合题意．

练习2 (2006上海交通大学)

设，解方程．

【简解】看作关于k的方程，

解得，

，或，即，

时，，；

时，，．

练习3 已知二次方程的解为整数，则正整数的值为

【简解】由于方程中x和a均为正整数，换一个角度，，，得，，；．

练习4 已知是任意三角形的三个内角，求证：

其中，是任意实数．

【简解】这个不等式含有三个变量三个参数，直接做差也可以考虑，但注意到都为2次，为了有序思考，将做差后的不等式看作关于x的二次函数，

，

，所以，

进而，不等式成立，命题得证．

例3（2011全国数学联赛湖北预赛第10题）

若实数使方程有一实数根,求的最小值.

【分析1】设是方程的一个实根，则，即

，显然，，

由柯西不等式，

于是，

.

【分析2】把方程看做关于的二元一次方程组，

它的几何意义时表示一条直线，而表示直线上任意点到直线距离的平方，所以，大于等于原点到直线的距离，即

．

例4 已知四个变量a，b，c，d满足，则的最小值为

【分析】这是一道含有四个变量函数的最值问题，根据所给的已知条件，先把看作关于a为变量的函数，，由于，当时，

，当且仅当取等号；

再将看作关于d的函数，由于，所以，当且仅当取等号．

看作b的函数，由于，所以，当且仅当取等号．

而，当且仅当取等号

综上，，，时的最小值为．

例5 （2004上海交通大学）

对于两条垂直的直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心的轨迹．

【分析1】以两条垂直的直线作为

x，y轴建立直角坐标系．

设椭圆长轴为2a，短轴为2b，

中心M（x0,y0）,则

，

，

关于切线轴对称的点为，

又，得

同理，关于切线轴对称的点为，

又，得

（1）+（2）得，

由于每个象限对称，所以．

【分析2】将椭圆固定，设其方程为，

两个切点，

两条切线为，，

根据两条切线垂直，得

椭圆中心到切线的距离分别为

，，解出

即，解出

代入2，得，

又，

所以，

6.有限与无限

有限和无限是辩证法的一对范畴，无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的发展，无限个数的和不是一般的代数和，把它定义为“部分和”的极限，就是借助于极限的思想方法，从有限来认识无限的．在数学解题中，我们经常利用这种关系找到问题解决的突破口．

例1 有一种放置硬币游戏，两人轮流将相同的硬币放在圆桌上．当桌子上不能再放硬币而同时不遮住其他硬币时,将要放硬币的人就输了．你能否设计一个战略使得某个人总是赢,不管桌子有多大．

【分析】这个游戏用的是圆桌，硬币也是圆的，如果用极限的思想思考一下，假设圆桌与硬币一样大，那么，先放的人一定会赢．按照这样的想法，当圆桌较大时，先放的玩家只要将第一枚硬币放在桌子的正中心,然后,接下来的每一枚硬币都放在对手所放硬币的对称位置上．这个方法总是可行的．因为先放置硬币的玩家的放置总是安全的后放置硬币的玩家最终会无法再放上硬币．

这是一个用有限与无限思想解决问题的简单例子．在数学问题的解决这中，这一思想可以起到事半功倍的效果．

例2 某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成．该八边形的面积为

（A）

（B）

（C）

（D）

【分析】这个问题如果直接解决并不困难，作为选择题，利用极限思想我们可以很快获得答案．当顶角为接近180°时，这个八边形无限接近边长为2的正方形，从而，其面积接近4，现在，只需在4个选择只中选出当接近180°时，结果接近4即可．显然A是适合的．

例3 证明：任何四面体中，一定有一个顶点，由它出发的三条棱可以构成一个三角形．

【分析】要证明三条棱可以构成一个三角形，只需证明

任意两个线段的和大于第三个线段，

这时就需要证明三个不等式．不失一般性，

假设为最长棱（如图），只需证明

即可．

在中，，

在中，，

两式子相加，得，由于两部分的和大于，则至少有一部分大于，即要么,要么，不管哪一个成立，都能说明从一个顶点出发的三条棱可以构成三角形，命题得证．

练习（2011全国联赛第11题 ）

作斜率为的直线与椭圆：交于两点（如图所示），且在直线的左上方．

（Ⅰ）证明：△的内切圆的圆心在一条定直线上；

（Ⅱ）若，求的面积．

【简解】第一问是解析几何中典型的定值问题，即寻找变化过程中的不变性．在获得一般性证明前，我们可以利用特殊位置，或极限思想找到这条定直线，对于后续的解题非常有帮助．

移动直线AB，使直线与椭圆相交，观察角APB平分线的位置变化，特别是极限位置，当直线与椭圆相切时，求切点的横坐标．

椭圆在第四象限的解析表达式是，，

令，解得，猜想内切圆圆心在直线上．

设直线:，代入，得，

设，则，

，，所以，角平分线平行于轴，又过P点．

故的内切圆的圆心一定在直线上．

（Ⅱ）由于，由（Ⅰ）的结论可知，，，

代入，得，

已知是方程的一个根，所以，另一个根是

．

同理可得．

所以．