我们先从一个篱笆围面积的故事说起．一位农夫请了工程师、物理学家和数学家，让他们用最少的篱笆围出最大的面积．工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最优设计．物理学家说：“将篱笆分解拉开，形成一条足够长的直线，当围起半个地球时，面积最大了．”数学家好好嘲笑了他们一番．他用很少的篱笆把自己围起来，然后说：“我现在是在篱笆的外面．”

　　实际上，工程师的设计是实用的、唯美的，不愧是“最优设计”．物理学家的思维具有奇特的想象力，篱笆可无限地分解拉开，似乎围成的面积已经是 “最大了”．数学家是用很少的篱笆把自己围起来，然后说：“我现在是在篱笆的外面．”工程师和物理学家力图围出最大的面积，而数学家是先围出最小的面积．数学家是反其道而行之．“反其道”是一种逆向思维，是辩证思维方法，是从正反两个方面，从整体认识事物后的一种思维方法．逆向思维是创造思维的组成部分．在我们面对“山重水复”之时，逆向思考常常使我们找到“柳暗花明”之路．在解决数学问题的过程中，辩证思维方法使得问题的解法简捷而优美．

例1 （1985全国初中数学联赛题）

有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，购乙7件，购丙1件共需315元．若购甲4件，购乙10件，购丙1件共需420元．问购甲、乙、丙各一件共需多少元？

【分析】这看起来十一道简单的应用题，只需设甲、乙、丙每一件分别需要元，则根据已知条件可得，问题转化为求的值．但如果按照通常的思路，应该分别求出，但两个方程三个未知数无法求出，思维陷入障碍．我们重新审视要解决的问题，要求的是的值，不一定要分别求出的值，也就是说，从总体上我们把看作一个未知数，这时，方程组可化为

，即

，

这时，方程组只含有两个未知数，是可解的，利用加减消元法消去，解得

．

当然，如果将z看作常量，将用z表示出来，解得，从而也是一种方法

实际上，这两种方法都用到了辩证思维方法，整体与部分，已知与未知之间的关系．

练习 如图，P是半径为R的半圆上一动点，O是坐标原点，A(2R,0)，B(2R,R)，D(0,3R)

为定点，则五边形OABPD围成的封闭图形的面积的最大值为 ．

【简解】显然五边形OABPD是不规则的多边形，只需要转化为三角形或特殊的四边形即可，当然这样的方法其运算量是比较大的．如果我们从运动变化、整体与部分等辩证思维方法审视这个问题，会有更妙的方法．

连接BD，则OABD为一确定的直角梯形，这时问题转化为当P点在半圆周上运动时，求三角形PBD面积的最小值．

三角形PBD中，底边BD为定值，问题转化为求点P到直线BD距离最小值，这是我们熟知的结论，即点P到直线BD距离最小值就是圆心到直线BD距离减去半径．

圆心到直线BD：的距离等于，三角形PBD面积的最小值为，五边形OABPD围成的封闭图形的面积的最大值为．

例2 求的展开式中的系数．

【分析】根据多项式乘法法则，我们不难得到的系数为

，即从1,2,3，……，n共n个数中，任意两个相乘积的和，如何求这样一个和呢？直接求解很难有好的办法，但当我们将这样一个式子放到一个整体上去看，思路就清晰了．联想到n个数和的完全平方展开式的结构特征，我们将展开，得

，即

,解出．

练习（2014北约第10题）

个正数满足，证明：

【简解】将所证不等式左边展开后，用均值不等式加以证明．

=．

例3 已知是不全相等的任意实数，若，，，则的值

（A都大于零 （B）至少有一个大于零

（C）至少有一个小于零 （D）都不小于零

【分析】如果从单个去看x、y、z的正负，显然无法做出判断，但要从总体上看，也就是它们三个加起来看，正负时容易判断的．

，由于是不全相等，所以，因此至少有一个大于零．

练习1 已知三个方程，，

至少有一个方程有实数根，求实数的取值范围．

【简解1】 正面考虑包含7种情况，而从反面考虑只有一种情况，即三个方程都没有实根，取交集即可，得，所以其补集为或．

【简解2】 “至少有一个”的含义是“第一个方程有实数解”，或“第二个方程有实数解”，或“第三个方程有实数解”，每一个有实数解，求并集即可．

练习2 设a,b,c为实数，使得方程有三个实数根．证明：如果

，则方程至少有一个根在区间中．

【简解】假设方程有三个实根，则

，

取，则，

由已知，所以．

从而中至少有一个小于等于1，即方程至少有一个根在区间中．

例4 设集合，若A中的所有三元素子集中的三个元素之和组成的集合为,则集合A= ．

【分析1】 直接考虑．为了思考有序进行，不妨设，则

解得

【分析2】从整体去考虑．显然，在A的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以，即，

于是，A中的四个元素分别为，，，，

因此，A=.

练习（2014华约第1题）

,,,,是正整数，任取四个其和组成的集合是，求这五个数．

【简解】从五个数中任取4个的和，总共由5中不同的情况，但只有4个结果，所以，必有重复，即

，

得，

所以，其中4个数分别是10，11，12，13，而另一个数只能是11才符合题意，

所以这五个数分别是10，11，11，12，13．