化归，顾名思义，就是通过转化将陌生问题归结为熟悉的问题，化归离不开转化，化归与转化不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．转化包括等价转化和非等价转化，非等价转化又分为强化转化和弱化转化．等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，非等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，非等价变形要对所得结论进行必要的修改．非等价转化（强化转化和弱化转化）在思维上带有跳跃性，是难点，在压轴题的解答中常常用到所谓的化归与转化的思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决问题的一种方法．一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．

总之，化归与转化在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗．说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决．实现这种转化的方法有：待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由抽象到具体等转化思想．

转化与化归的基本类型：一般与特殊的转化；常量与变量的转化；数与形的转化；相等与不相等之间的转化；实际问题与数学模型的转化，函数与方程之间的转化等等．

例1设桌面上有一丝线做成的线圈，它的周长是2l．现用纸剪成一个直径是l的圆纸片，证明：（Ⅰ）当线圈做成一个平行四边形时，可以用所做的圆纸片完全盖住它；

（Ⅱ）不管线圈做成什么样形状的线圈，都可以用此圆纸片完全盖住它．

【分析】（Ⅰ）解决问题的关键是将“圆纸片完全盖住平行四边形线圈”转化为用数学语言去表达．

如图所示，ABCD为平行四边形，O为其对角线交点，且，只需证明平行四边形ABCD内接于以O为圆心，半径为的圆内即可．

，

，

所以ABCD四个点均在圆O内，或圆周上．

因此，总可以用直径是l的圆纸片盖住周长为的平行四边形．

（Ⅱ）第二个问题与第一个问题的区别在于第一个线圈的形状是规则的平行四边形，而第二个问题中，线圈是任意摆放的，怎么才能说明圆纸片能盖住任意图形呢？想到这里，我们思维受阻了．这时，就要用到最重要的思维方法“转化与化归”了．能否将一般问题转化为特殊问题，将陌生问题转化为已经解决的问题．既然第一问我们成功解决了线圈是平行四边形的情形，能否把任意摆放的线圈划归为平行四边形呢？

不失一般性，我们总可以在线圈上取两点N、P，使N，P之间线圈的长度为l．设O为NP的中点．在线圈上任取异于N，P的一点M，连接MN，MP，MO，则

，

接下来只要证明即可．受到第一问解法的启发，找出M关于O的对称点，则为平行四边形，

，

由于M是线圈上任意一点，所以，总可以用直径是l的圆纸片盖住任意摆放的线圈．

这就是化归与转化的思维方法，可以说，数学解题的过程就是不断转化的过程，通过数学方法，直到归结为已经解决或熟悉的问题为止．

例2 在平面直角坐标系中，已知A（1,3），B（6,1），C（3,4），若P（x,y）是三角形ABC区域内（包括边界上）的一点，求的最大值．

【分析】首先，这是一道求约束条件下二元函数最值的问题，问题的条件指一个三角形的区域，但要求的目标函数却是我们不熟悉的的形式，这时，我们就需要转化，怎么转化呢？

先来回顾一下我们做过的问题，本题的条件如果不变，要求的是关于的线性组合，例如的最值，我们令，这时当在给定区域变化时，的几何意义是直线在y轴的截距，数形结合就可以解决了．那么，对于目标函数不是关于的线性组合，例如，，，，是否可以令目标函数为一参数，利用其几何意义求解呢？

为了方便，我们令，则，则2p的几何意义是顶点在原点，开口朝右的抛物线的通径，则问题转化为“过三角形ABC区域中（包括边界上）哪一个点时，其对应的抛物线的通径最长”，数形结合（如图），显然是过点时，此时，，所以的最大值为．

当然，如果题目已经引入了参数，例如满足，等，就直接可以利用参数的几何意义求解了．

练习 1求的最小值；

【简解】这是一道二元函数求最值的问题，而且变量和可以任意取值．在高中范围内，只学过目标函数是线性，且约束条件是直边区域的二元最值问题，其基本思想方法就是转化．对于此问题，可将函数先看做关于变量y的二次函数，x为参数，则，，当且仅当时取等号，而当时，存在最小值，所以，当，且时，却的最小值．

练习2 求的最小值．

【简解】，的最小值为，当且仅当．令，

，由于恒成立，所以是的唯一极小值点，所以，当，时，取得最小值．

练习3 已知是锐角，求的最小值．

【简解】相互独立，先看做关于的函数，求最小值，再看做求最小值．

，当且仅当时取等号．

练习4 非负实数满足关系式，则的最小值为

【简解】这是一道有约束条件的三元函数最值问题，由于约束条件为等式，可转化为一元函数求最值问题．令，则，由于非负，所以，所以，最小值为．

例3 设为正数，求的最小值．

【分析】这是一道有约束条件的三元函数最值问题，直接化简比较复杂，观察到所求函数的分母是多项式是求解的难点，为此，可通过转化将其分母变为单项式．

令，

则，，，

，

，当且仅当，

即时取等号．

例4 设m，n为正整数，．求证：

（Ⅰ）时，；

（Ⅱ）当时，．

【分析】第一问是不等式证明问题，由于已知，那么

，当时，，

由于要证明的不等式是大于等于，所以问题转化为求的最小值，即对进行放缩，在中分母最小的是，共有项，所以．

第二问题的证明，如果没有直接的较容易的办法，可以采用归纳的方法．

时，，

假设时命题成立，即．

当时，

由假设，所以

，

所以，当时，不等式成立．

综上所述，不等式对任意的自然数均成立．

当然，此文也可以直接利用部分放缩加以证明．

，

，

由此问的结论我们知道，调和数列的和，实际上我们可以证明

，．

练习：（2014华约）

已知数列满足：，．

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）若，，求证：数列有界．

【简解】第一问的求解是高中数列中已知递推关系求数列通项的问题，利用叠加或求解，可得

第二问的条件是，，是不等关系，要求证的是数列有界，即存在正数M，使得，既然要证的是不等式，就可以利用，放缩，把第二问转化为第一问的情况．

，

，利用此不等的递推关系，可得

，

又，

所以．

例5 （Ⅰ）若，证明：

；

（Ⅱ）设，求证：．

【分析】这是一道与自然数有关的不等式证明问题，我们可以考虑数学归纳法．

第一问，时，左=，

假设时，不等式成立．

当时，由假设，

命题得证．

第二问可直接利用第一问的结论．因为，所以也在之间，

．

练习1（2014北约）

个正数满足，证明：．

【简解】可以考虑用数学归纳法．

时，不等式显然成立；

假设时，命题成立，即在条件 下，

，

时，由于，

要利用假设条件，就必须将转化为n个正数相乘的形式，

由于，一定存在两个正数一个大于等于1，而另一个小于等于1，

不妨设，，

左边=，

=，

又，所以，

，

，

左边，

由假设，左边．

当然，此问题也可将不等式左边直接展开，利用均值定理和二项式定理加以证明，也可以给已知和求证式子取对数后利用琴声不等式证明．

练习2（2014华约第7题）

已知，，求证：．

【简解1】常规方法．将不等式化为，

令，则问题转化为证明：函数最小值大于等于n即可．

由于（），

（1）若，，=1，不等式成立；

（Ⅱ）若，由于，令，

，

，显然，的最大值与2的大小未知，

令，

则

为此，构建新的函数，，

由于，所以在递减，

所以

即，，

，

所以，

命题成立．

【简解2】要证不等式两边同除以n，即证，当时，显然成立；

当时，，利用可得，

由于，．

由伯努利不等式，．