自由读 — 一、一元线性回归预测法：从优惠折扣预测销售量

一元线性回归模型假设被预测变量 y和单个预测变量 x之间存在线性关系，其公式可以表示为

系数 a和 b 分别表示回归线的截距和斜率。截距项 a表示当 x=0时 y 的预测值；斜率 b 表示当 x 增加一个单位时，y 的平均变化。这种寻找一条通过数据集的最佳直线，就是回归分析。它有助于在不同分布的数据中，找出穿过数据的直线，并使得每一个数据点到这条直线的距离平方和达到最小。

一元线性回归的一元指的是只有一个自变量（即外部因素），从而带动因变量（在预测中指需求量）变化。

某公司自第1周开始上架某SKU，每周推出一定的折扣优惠，随着折扣的力度越来越大，销量也因此增加。

图4-29

当这个折扣比例被认为是影响销量的因素时，并根据情况（图例）发现随着折扣力度越大，销量也因此因相应地增加，那么可以认为这两者之间存在关联。对此试图建立回归直线来进行分析。

利用Excel，选择数据-数据分析-回归，进行相应的选择。其中Y值输入区域表示为因变量，X值得输入区域表示为自变量，按下确定就可以得到相关回归方程所需要的数据了。

图4-30

得出的结果如下：

图4-31

根据图4-45得出的结果，可以建立线性回归方程，即，如下图，而各点与直线之间的距离，表明实际和预测之间的差异，也通说说明了除了X这个因素之外，还有其他的因素导致实际值和预测值有所不同。

图4-32 线性回归方程图

根据建立的回归方程，如果下一周继续同样状况并继续加大折扣力度，折扣比例为10.5%，预测得出的销售量为30（千）（数据四舍五入）

根据这个一元线性回归方程而建立的预测法究竟是否合适呢？当然通过看图，感觉是合适的，将折扣比例作为自变量，而将销售实际作为因变量进行线性回归分析，能通过看出折扣比例对销售实际产生了影响关系。

还可以通过R平方值（图示中的R Square）来观察，如计算结果，R平方值等于0.9706，意味着折扣比例可以解释销售实际的接近97.06%变化原因。当这个值等于0时，表明自变量和因变量没有任何的关联，而当这个值等于1的时候，表明两个变量之间具有完美的不具有任何干扰的线性关系。

一般来说，>0.7是高度线性相关，0.3和0.7之间是中度线性相关，<0.3是低度线性相关。当R值（R平方值的平方根，也叫相关系数）为负值，则说明自变量和因变量是负相关，可以理解为发展趋势呈向下发展。本例中R值为0.9851，表明是高度的正相关。如果是R值偏低，暗示了还有其他更为重要的影响因素存在。

R平方值容易偏大估测回归模型的解释能力，随着自变量数量不断增加，R平方值也会增加，让回归模型拟合的效果更加好，但是实际情况并非如此，因为可能存在某些自变量和因变量并不相关，增加这些自变量不会有助于拟合度的增加。因此，调整的R平方值就是用以解决这种可能过于乐观的情况，并更能代表销售实际值中能被解释的部分。本例中调整的R平方值为0.9669。

因此，本例中的R值，R平方值和调整的R平方值，表明折扣比例和销量，存在很强的正相关线性关系，并且这种绝大部分这种变量关系是可以解释的。

【小插曲1】置信度和置信区间到底是什么

在Excel的回归计算中，选择中有一个关于置信度的项目，见图4-65，默认值为95%。这个选项除了在Excel中，在不少的软件计算中也同样存在，多数的默认值也是95%。

图4-33

进行预测运算的过程，实际是在寻找随机变量的过程中，找出可能取值范围内的中间值。通常情况下，预测会伴随着一个预测区间，给出一个随机变量具有较高概率的范围值。这个区间反映的是，估算究竟准不准，准的话，那么准确度又有多大呢？

比如小李最近的三次高考模拟考试得分是620，625，615分，那么预测他高考成绩是620分。这个值称为点估计，只是这个是一个非常确切和精准的数值，而高考过程中涉及了很多因素，小李有可能得到这个成绩，当然也可能不是这个分数，那么这个预测的估计值就不是非常可靠，为此要人更加信服的话，就设立一个区间，以这个620分作为平均值，并让这个区间作为上下限，其上下限的值就是该平均值加上或者减去某个标准误差。根据过往模拟考试的成绩，小李取得的分数非常可能是在615分到625分之间，而这个非常可能换算成数字的话，就是有95%的把握。这个95%就是置信度。而615分和625分就是置信区间的上下限了，记为[615，625]。

置信度和置信区间一般是相同趋势。当置信度很高时，置信区间也会很大；当置信区间很大时，置信度也会很高。如果高考满分是750分，置信度是100%，也就是小李的高考分数必然能够预测中，那么分数的置信区间，就是从0分下限直到750分上限这个跨度了。

图4-34 置信区间

置信区间的上下限计算公式为

这里涉及了Z值的计算，对于Z值，在库存里谈到过了Z值和对应的概率的。

图4-35

而90%的置信度，对应的Z值是1.65（见图4-67），可是对应的概率却是95%。对于这点，常常让人混乱。为什么查找置信度是90%的Z值时，要查找95%对应的值，或者在Excel中输入Nrom.d.inv函数时，输入的是norm.d.inv(0.95)而不是norm.d.inv(0.9)呢？

通过图示可以容易理解，90%的置信水平就是上限和下限内的包含90%的面积，而除外还有10%的面积，各自平均分一半在两侧，即每侧5%。而95%的概率就是0%开始直到置信区间的上限值。因此90%的置信水平，对应的是95%的概率，也就是说，Z值是取值95%的概率对应值。

图4-36

【小插曲2】线性回归预测遇见季节性因素，怎么办

某品牌的运动鞋在2017年到2020年的各季度销量如表4-44所示。

表4-44

并且通过图示观察，呈现出线性趋势的情况。

图4-37

然后拆解出各个年份对比，图形都是很雷同，都是从第1季度开始增长，在第3季度达到顶峰，然后在第四季度回落。

表4-45

综合以上，这个历史数据表示趋势具备了线性和含有季节性因素。

该品牌打算利用以上数据，使用时间序列法的预测，就要把线性回归和季节性模型结合起来。线性回归，如果是一元线性回归，就是，如果是涉及多元，就要再增加自变量。历史数据表明含有4个季节性的因素，那么可以把每一个季节看作一个自变量因素。

但这里涉及一个哑变量的问题。因为要把季节因素融入到线性方程中，就是需要做哑变量处理。季节因素被视为分类变量，而所谓分类变量就是用于将数据观察值分类的数据。

假如没有处理，直接代入，把第一季度看成是X=1，第二季度看成是X=2，如此类推，那么线性方程是Y= A + BX，而回归系数B描述了自变量X每增加一个单位对因变量Y 的影响，不过把季节视为一个自变量因素的话，然而当季节从1变化到2，又或者从2变化到3，它对因变量Y的影响应该是不尽相同的，如果按照线性方程Y= A + BX而言，这个影响都是一样的话，这样的话实际还是单纯的线性回顾，并非融合了季节因素。

所以，对于这样的分类变量，就是进行哑变量处理。

对四个季度，启用了3个虚拟变量，分别命名为Q1，Q2，Q3，其值只能为0或1。当表示为第一季度的时候，Q1为1， Q2和Q3都为0；表示为第二季度的时候，Q2为1，Q1和Q3都为0；当表示为第三季度的时候，Q3为1，Q1和Q2都为0。那么3个虚拟变量就可以决定4个分类变量，也就是第四季度的时候，Q1，Q2和Q3都为0。

表4-46