1.设为等差数列的前n项和，已知，，，则n等于 ．

【简解】根据等差数列的性质，与首末等距离的两相和总想等，为数列后6项的和，已知前6项和为36，所以，，

解得．

2.在数列中，，，，则

【简解】观察到的左端是一个二次三项式，很容易分解为

，这个式子实际上给出了第n项与第n+2项之间的递推关系，且成绩为常数，进一步可得，从而，数列为周期是4的数列，．

3. 已知数列满足，，用表示不大于x的最大整数，则

的值等于

【简解】注意到所求式子中具有结构“”，而已知条件中经变形

，再同时两边取倒数，即，

，，

由于，为递增数列，，所以时，成立，所以

．

4.已知，点在函数的图像上，证明数列是等比数列．

【简解】要证明数列是等比数列，只需证明，即．

由已知，即，两边取对数，得，命题得证．

5.设函数若不等式对任意恒成立，则m的范围是 ．

【简解】 注意到函数是分段函数，分段函数的性质必须从整体上看，由于是奇函数，且是上的增函数．所以，等价于，分离m与x，得，

当时，的最大值为，所以．

6.已知，，且则= 1

【简解】显然，通过已知条件求出并不是一个好的选择，注意到两个式子在结构上有共同的特征，，即为，

设，则为奇函数且为上的增函数，又，

所以，．

7.已知，则

【简解】注意到所求三角函数式中的角与已知式子中的角，我们将已知条件作如下变形：，展开，由于为齐次式，同除以，可得．

8.对于椭圆，若点满足，则称该点在椭圆内．在平面坐标系中，若点A在过点的任意椭圆内或椭圆上，则满足条件的点A构成的图形为

A.三角形及其内部 B.矩形及其内部 C.圆及其内部 D.椭圆及其内部

【简解1】由椭圆的对称性知，经过点得椭圆必经过，，，且以上述四点为矩形都内接于椭圆，选择题的解题策略：抽象问题具体化、一般问题特殊化、分段函数整体化．

【简解2】设，则，且，则，，

问题转化为，对任意的，，恒成立，求的范围．

即，进而，

令，

①时，，即，

②时，当时，取得最大值，

③时，无最大值，不等式不成立．

也可利用两个参数恒成立求解．

，且，即，

即恒成立，即解得．

9.（2016高考江苏卷23题）（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，求证：

．

【简解】第一问容易求解，，但实际上给出了一个一般结论：，先证这个结论，然后利用这一结论这么第二问．

10.（2013全国卷Ⅱ理科21）已知函数．

（Ⅰ）设是的极值点，求m并讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，证明：．

【简解1】第（Ⅰ）问略．下面主要解决第（Ⅱ）问．

当时，

令，则

由于在单调递增，且，

所以在存在唯一零点，且，

所以 在递减，在递增，

所以

【简解2】当时，，

容易证明，，所以（两个等号不能同时成立）

只需分别证，，以下略．

11.（2014全国卷Ⅰ理科21）

设函数，曲线在点处的切线为．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）证明：

【简解】第（Ⅰ）问a=1，b=2；

第（Ⅱ）问，直接构造函数证明是比较困难的，由于所证为不等式，将所证不等式转化为，

由于函数在取得最小值，

而函数在取得最大值，

所以恒成立．

但是注意，一般情况下，恒成立并不能推出．

12.（2015高考全国卷Ⅰ理科12）

设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则a的取值范围是

B.

D.

【简解1】，数形结合，选D．

【简解2】注意到，，在同一坐标系做出函数与的图像，分两种情况：，和讨论导函数的正负，进一步得出的单调性，根据草图获得答案．

13.（2015高考全国卷Ⅰ文科12）

设函数的图像与的图像关于对称，且，则a等于

A.-1 B.1 C.2 D.4

【简解】图像关于对称等价于：先关于对称，再关于原点对称，即两次对称的合成，或直接利用结论，将原表达式中的x换成-y，同时，将y换成-x，得

，利用，求得．

一般的，对于曲线关于特殊直线：，，，

等对称的结论应熟知．

14.（2015高考全国卷Ⅰ理科16）

在四边形ABCD中，，，则AB的取值范围是

【简解】这是一道根据题意构做图形，根据图形的确定性和不确定性的要素，在变化过程中找出最大值与最小值．BE为AB的最小值，BF为AB的最大值．

在三角形BCE中，由正弦定理，

在三角形BCF中，由正弦定理，

所以，范围是．

15.（2015高考全国卷Ⅰ文科16）

设F是双曲线的右焦点，P是双曲线C的左支上一点，，当三角形APF的周长最小时，该三角形的面积为

【简解】三角形APF的周长等于，

利用双曲线定义，，所以周长等于，，当A，P，共线时最小，此时

求出点的坐标，.

16.（2015全国高考卷Ⅰ理科20）

已知曲线与直线交于M，N两点．

（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M、N处的切线方程；

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有?说明理由．

【简解】第（Ⅰ）问容易解决．时的切线方程为，但我们发现这两条切线过y轴上的同一个点，这给第（Ⅱ）问探索一般规律提供了思考的方向．

第（Ⅱ）问的解决有两种思路：一是，结合几何直观以及第一问的结论，先猜想出定点，再证明．二是，假设存在点，利用对任意的k，恒成立，求出．

具体过程略．

17. （2015全国高考卷Ⅰ文科20）

已知过点且斜率为k的直线l与圆交于M、N两点．

（Ⅰ）求k的取值范围；

（Ⅱ）若，其中O为坐标原点，求．

【简解1】设直线，交点，利用求出k的值，进而求出；

【简解2】由切割线定理，得到，由于,，利用，得．

设MN中点为P，则，则，利用几何意义可知，所以直线MN过圆心，因此=2．

18. （2015全国高考卷Ⅰ理科21）

已知函数，．

（Ⅰ）a为何值时，x轴为曲线的切线？

（Ⅱ）用min{m,n}表示m，n中的最小值，设函数，讨论零点的个数．

【简解1】

在同一坐标系中，分别画出，图像，再确定的图像，

由于函数定义域为，

问题转化为在上零点的个数以及零点与1的大小关系．

由于，且图像关于点（）对称，

当时，递增，有1个零点；

当时，设的一个大于零的零点为，即，

则，

①若， ，解得，由于，

所以时，有1个零点；

②若，即，此时，，即，有2个零点；．

③若，即，由于恒成立，

i），即，三个零点；

ii），即两个零点；

iii），即一个零点．

综上，或，一个零点；或，两个零点；，三个零点．

【简解2】在零点的个数问题转化为交点的个数问题．

①，在没有零点，在1个零点；

②，在有1个零点，在2个零点；

③，在有2个零点，在3个零点；

④，在有2个零点，在2个零点；

⑤，在有2个零点，在1个零点.

19.（2015全国卷文科21）

设函数．

（Ⅰ）讨论的导函数零点的个数；

（Ⅱ）证明：当时，．

【简解】（Ⅰ），．零点个数由函数与函数交点的个数确定，的图像如图所示：

所以，无零点；有唯一零点．

（Ⅱ）由于导函数的零点不可求出，

可设零点为（），则，

由于时，取得极小值同时也是最小值，所以，

只需证明，即，两边同除以a，

只需证，

即，由于，不等式成立．原命题得证．

20.（2015河南省高中数学联赛预赛第4题）

已知实数x，y满足，则

【简解】由于方程含有两个未知数，但只有一个方程，而且方程中既含有超越式也含有初等式，联想到利用重要不等关系，当且仅当时等号成立．将超越式转化为初等式，将等式转化为不等式．

由于，，

所以 ，当且仅当

，即取等号，故．

21.（2013全国数学联赛黑龙江预赛第22题）

设．

（Ⅰ）判断函数的单调性；

（Ⅱ）是否存在实数，使得关于x的不等式在上恒成立？若存在求出的范围，若不存在，试说明理由．

（Ⅲ）求证：

【简解】（Ⅰ），

我们利用重要不等关系，当且仅当时取等号．

由于，而，当且仅当去等号，

所以，所以，即，

所以在递增．

本题也可以构造新函数，研究此函数的性质即可．

（Ⅱ）令，则对于任意的恒成立．

，由于，

当时，，递增，由于，得矛盾；

当时，递减，恒成立．

时，在递增，在递减，不恒成立，

综上，．

当然，本题还可分离参数a，将问题转化为恒成立，利用第一问的结论求解．

（Ⅲ）由于时，不等式恒成立，

即恒成立，所以，

又，即，将x换为，得

，再令，即得结论．

22.（2015吉林预赛第15题）

已知不等式对任意的均成立，求实数a的范围．

【简解】令（），

，

若，则，则在递增，所以．

若，则在上递减，在递增，

由于，

而，所以，

综上，．

23.（2015湖南预赛第16题）

已知，，．

（Ⅰ）经过原点分别作曲线和的切线和，已知两切线的斜率互为倒数，求证：；

（Ⅱ）设，当时，恒成立，试求实数a的范围．

【简解】（Ⅰ）设与曲线切于点，则

，且，

解得，则，

由已知，即，

问题转化为关于a的方程的解．

设（），

则，

当时，，函数在上递增，

当时，，函数在上递减，

又，所以，易知，

所以函数在区间一定有一个零点，且零点在区间内，

即，又，

所以．

（Ⅱ），

，

由于，所以，

当时，，在递增，而，满足题意．

当时，由于，

当时，，，所以，

在递增，，

当时，（或者取，），

所以，在存在，

在递减，在递增．

所以，不恒成立，

综上．

24.（2012第八届中国北方奥林匹克邀请赛第6题）

设n为正整数，证明：．

【简解1】 数学归纳法

由，，……，

猜想，再用数学归纳法证明．

【简解2】由于，可得，

．

【简解3】两边取常用对数，所证不等式为

，

利用，

，

，命题得证．

25.（2011清华自主招生第13题）

已知函数，，，令，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）证明．

【简解】由已知求得，所以．

可以用数学归纳法，也可用解得．

所证不等式可化为，

而，

这里利用了重要不等关系．

下面给出两个重要不等关系及其变形形式：

（1），当且仅当时取等号．

当时，，即，

将上式中得x换成-x，即当时，，

综上可得．

（2）由不等式（1），

即 ，将x换成得，

也可以获得．

这些重要不等关系在解决与函数有关的问题时有时候较为方便．